3.12 \(\int \frac{\text{csch}^5(x)}{a+b \cosh ^2(x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=94 \[ -\frac{\left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tanh ^{-1}(\cosh (x))}{8 (a+b)^3}-\frac{b^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (x)}{\sqrt{a}}\right )}{\sqrt{a} (a+b)^3}-\frac{\coth (x) \text{csch}^3(x)}{4 (a+b)}+\frac{(3 a+7 b) \coth (x) \text{csch}(x)}{8 (a+b)^2} \]

[Out]

-((b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^3)) - ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Cosh[x
]])/(8*(a + b)^3) + ((3*a + 7*b)*Coth[x]*Csch[x])/(8*(a + b)^2) - (Coth[x]*Csch[x]^3)/(4*(a + b))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.172009, antiderivative size = 94, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.4, Rules used = {3190, 414, 527, 522, 206, 205} \[ -\frac{\left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tanh ^{-1}(\cosh (x))}{8 (a+b)^3}-\frac{b^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (x)}{\sqrt{a}}\right )}{\sqrt{a} (a+b)^3}-\frac{\coth (x) \text{csch}^3(x)}{4 (a+b)}+\frac{(3 a+7 b) \coth (x) \text{csch}(x)}{8 (a+b)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csch[x]^5/(a + b*Cosh[x]^2),x]

[Out]

-((b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Cosh[x])/Sqrt[a]])/(Sqrt[a]*(a + b)^3)) - ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Cosh[x
]])/(8*(a + b)^3) + ((3*a + 7*b)*Coth[x]*Csch[x])/(8*(a + b)^2) - (Coth[x]*Csch[x]^3)/(4*(a + b))

Rule 3190

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e +
f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 414

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(b*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*
(c + d*x^n)^q*Simp[b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinomial
Q[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\text{csch}^5(x)}{a+b \cosh ^2(x)} \, dx &=-\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right )^3 \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\cosh (x)\right )\\ &=-\frac{\coth (x) \text{csch}^3(x)}{4 (a+b)}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{3 a+4 b+3 b x^2}{\left (1-x^2\right )^2 \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\cosh (x)\right )}{4 (a+b)}\\ &=\frac{(3 a+7 b) \coth (x) \text{csch}(x)}{8 (a+b)^2}-\frac{\coth (x) \text{csch}^3(x)}{4 (a+b)}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{3 a^2+7 a b+8 b^2+b (3 a+7 b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )} \, dx,x,\cosh (x)\right )}{8 (a+b)^2}\\ &=\frac{(3 a+7 b) \coth (x) \text{csch}(x)}{8 (a+b)^2}-\frac{\coth (x) \text{csch}^3(x)}{4 (a+b)}-\frac{b^3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b x^2} \, dx,x,\cosh (x)\right )}{(a+b)^3}-\frac{\left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-x^2} \, dx,x,\cosh (x)\right )}{8 (a+b)^3}\\ &=-\frac{b^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (x)}{\sqrt{a}}\right )}{\sqrt{a} (a+b)^3}-\frac{\left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \tanh ^{-1}(\cosh (x))}{8 (a+b)^3}+\frac{(3 a+7 b) \coth (x) \text{csch}(x)}{8 (a+b)^2}-\frac{\coth (x) \text{csch}^3(x)}{4 (a+b)}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 0.583693, size = 219, normalized size = 2.33 \[ \frac{2 \sqrt{a} \left (3 a^2+10 a b+7 b^2\right ) \text{csch}^2\left (\frac{x}{2}\right )+2 \sqrt{a} \left (3 a^2+10 a b+7 b^2\right ) \text{sech}^2\left (\frac{x}{2}\right )+8 \left (\sqrt{a} \left (3 a^2+10 a b+15 b^2\right ) \log \left (\tanh \left (\frac{x}{2}\right )\right )-8 b^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b}-i \sqrt{a+b} \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{a}}\right )-8 b^{5/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b}+i \sqrt{a+b} \tanh \left (\frac{x}{2}\right )}{\sqrt{a}}\right )\right )-\sqrt{a} (a+b)^2 \text{csch}^4\left (\frac{x}{2}\right )+\sqrt{a} (a+b)^2 \text{sech}^4\left (\frac{x}{2}\right )}{64 \sqrt{a} (a+b)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csch[x]^5/(a + b*Cosh[x]^2),x]

[Out]

(2*Sqrt[a]*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*Csch[x/2]^2 - Sqrt[a]*(a + b)^2*Csch[x/2]^4 + 8*(-8*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b
] - I*Sqrt[a + b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a]] - 8*b^(5/2)*ArcTan[(Sqrt[b] + I*Sqrt[a + b]*Tanh[x/2])/Sqrt[a]] + Sqrt[a
]*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*Log[Tanh[x/2]]) + 2*Sqrt[a]*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*Sech[x/2]^2 + Sqrt[a]*(a + b)
^2*Sech[x/2]^4)/(64*Sqrt[a]*(a + b)^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.035, size = 184, normalized size = 2. \begin{align*}{\frac{a}{64\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) ^{4}}+{\frac{b}{64\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) ^{4}}-{\frac{a}{8\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) ^{2}}-{\frac{b}{4\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) ^{2}}-{\frac{1}{64\,a+64\,b} \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) ^{-4}}+{\frac{a}{8\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) ^{-2}}+{\frac{b}{4\, \left ( a+b \right ) ^{2}} \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) ^{-2}}+{\frac{3\,{a}^{2}}{8\, \left ( a+b \right ) ^{3}}\ln \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) }+{\frac{5\,ab}{4\, \left ( a+b \right ) ^{3}}\ln \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) }+{\frac{15\,{b}^{2}}{8\, \left ( a+b \right ) ^{3}}\ln \left ( \tanh \left ({\frac{x}{2}} \right ) \right ) }-{\frac{{b}^{3}}{ \left ( a+b \right ) ^{3}}\arctan \left ({\frac{1}{4} \left ( 2\, \left ( a+b \right ) \left ( \tanh \left ( x/2 \right ) \right ) ^{2}-2\,a+2\,b \right ){\frac{1}{\sqrt{ab}}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{ab}}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csch(x)^5/(a+b*cosh(x)^2),x)

[Out]

1/64/(a+b)^2*tanh(1/2*x)^4*a+1/64/(a+b)^2*tanh(1/2*x)^4*b-1/8/(a+b)^2*tanh(1/2*x)^2*a-1/4/(a+b)^2*tanh(1/2*x)^
2*b-1/64/(a+b)/tanh(1/2*x)^4+1/8/(a+b)^2/tanh(1/2*x)^2*a+1/4/(a+b)^2/tanh(1/2*x)^2*b+3/8/(a+b)^3*ln(tanh(1/2*x
))*a^2+5/4/(a+b)^3*ln(tanh(1/2*x))*a*b+15/8/(a+b)^3*ln(tanh(1/2*x))*b^2-1/(a+b)^3*b^3/(a*b)^(1/2)*arctan(1/4*(
2*(a+b)*tanh(1/2*x)^2-2*a+2*b)/(a*b)^(1/2))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} -\frac{{\left (3 \, a^{2} + 10 \, a b + 15 \, b^{2}\right )} \log \left (e^{x} + 1\right )}{8 \,{\left (a^{3} + 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )}} + \frac{{\left (3 \, a^{2} + 10 \, a b + 15 \, b^{2}\right )} \log \left (e^{x} - 1\right )}{8 \,{\left (a^{3} + 3 \, a^{2} b + 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )}} + \frac{{\left (3 \, a + 7 \, b\right )} e^{\left (7 \, x\right )} -{\left (11 \, a + 15 \, b\right )} e^{\left (5 \, x\right )} -{\left (11 \, a + 15 \, b\right )} e^{\left (3 \, x\right )} +{\left (3 \, a + 7 \, b\right )} e^{x}}{4 \,{\left (a^{2} + 2 \, a b + b^{2} +{\left (a^{2} + 2 \, a b + b^{2}\right )} e^{\left (8 \, x\right )} - 4 \,{\left (a^{2} + 2 \, a b + b^{2}\right )} e^{\left (6 \, x\right )} + 6 \,{\left (a^{2} + 2 \, a b + b^{2}\right )} e^{\left (4 \, x\right )} - 4 \,{\left (a^{2} + 2 \, a b + b^{2}\right )} e^{\left (2 \, x\right )}\right )}} - 32 \, \int \frac{b^{3} e^{\left (3 \, x\right )} - b^{3} e^{x}}{16 \,{\left (a^{3} b + 3 \, a^{2} b^{2} + 3 \, a b^{3} + b^{4} +{\left (a^{3} b + 3 \, a^{2} b^{2} + 3 \, a b^{3} + b^{4}\right )} e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \,{\left (2 \, a^{4} + 7 \, a^{3} b + 9 \, a^{2} b^{2} + 5 \, a b^{3} + b^{4}\right )} e^{\left (2 \, x\right )}\right )}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(x)^5/(a+b*cosh(x)^2),x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/8*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*log(e^x + 1)/(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3) + 1/8*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*lo
g(e^x - 1)/(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3) + 1/4*((3*a + 7*b)*e^(7*x) - (11*a + 15*b)*e^(5*x) - (11*a + 15*b)*
e^(3*x) + (3*a + 7*b)*e^x)/(a^2 + 2*a*b + b^2 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*e^(8*x) - 4*(a^2 + 2*a*b + b^2)*e^(6*x) +
6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*e^(4*x) - 4*(a^2 + 2*a*b + b^2)*e^(2*x)) - 32*integrate(1/16*(b^3*e^(3*x) - b^3*e^x)/(a^
3*b + 3*a^2*b^2 + 3*a*b^3 + b^4 + (a^3*b + 3*a^2*b^2 + 3*a*b^3 + b^4)*e^(4*x) + 2*(2*a^4 + 7*a^3*b + 9*a^2*b^2
+ 5*a*b^3 + b^4)*e^(2*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.13598, size = 13990, normalized size = 148.83 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(x)^5/(a+b*cosh(x)^2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/8*(2*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^7 + 14*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^6 + 2*(3*a^2 + 10*a*b
+ 7*b^2)*sinh(x)^7 - 2*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 + 2*(21*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^2 - 11*a
^2 - 26*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^5 + 10*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^3 - (11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x
))*sinh(x)^4 - 2*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 + 2*(35*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^4 - 10*(11*a^2
+ 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 - 11*a^2 - 26*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^3 + 2*(21*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^5
- 10*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 - 3*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^2 + 4*(b^2*cosh(x)^8
+ 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 - 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cos
h(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 - 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(
x)^4 - 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 - 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6
- 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 - 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh
(x)^3 - b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-b/a)*log((b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b)*
cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 - (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) - 4*(a*cosh(x)
^3 + 3*a*cosh(x)*sinh(x)^2 + a*sinh(x)^3 + a*cosh(x) + (3*a*cosh(x)^2 + a)*sinh(x))*sqrt(-b/a) + b)/(b*cosh(x)
^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + 2*a + b)*sinh(x)^2 + 4*(
b*cosh(x)^3 + (2*a + b)*cosh(x))*sinh(x) + b)) + 2*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x) - ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^
2)*cosh(x)^8 + 8*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*sinh(x)^8 - 4*(3*a^2
+ 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 - 3*a^2 - 10*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^6 +
8*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 - 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(3*a^2 + 10*a*b
+ 15*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 - 30*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 + 9*
a^2 + 30*a*b + 45*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 - 10*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cos
h(x)^3 + 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(3*a^2
+ 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^6 - 15*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2
- 3*a^2 - 10*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^2 + 3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2 + 8*((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^7 - 3*(3
*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 + 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 - (3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))
*sinh(x))*log(cosh(x) + sinh(x) + 1) + ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh
(x)*sinh(x)^7 + (3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*sinh(x)^8 - 4*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(3*a^2 + 10
*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 - 3*a^2 - 10*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 - 3*(
3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(3*a^2 + 10*a*b +
15*b^2)*cosh(x)^4 - 30*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 + 9*a^2 + 30*a*b + 45*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(3*a^2
+ 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 - 10*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*s
inh(x)^3 - 4*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^6 - 15*(3*a^2 + 10*a
*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 - 3*a^2 - 10*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^2 + 3*a^2 +
10*a*b + 15*b^2 + 8*((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^7 - 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 + 3*(3*a^2 +
10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 - (3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*log(cosh(x) + sinh(x) - 1) + 2*(7*(3*
a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^6 - 5*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 - 3*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x
)^2 + 3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*sinh(x))/((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2
+ b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh
(x)^6 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^3
+ 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^3 + 3*a^2*b
+ 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 3*a^3 + 9*a^2*b + 9*a*b^2 + 3*
b^3 - 30*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5
- 10*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 +
3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*
cosh(x)^6 - 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 - a^3 - 3*a^2*b - 3*a*b^2 - b^3 + 9*(a^3 + 3*a^2*b +
3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^
2 + b^3)*cosh(x)^5 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*si
nh(x)), 1/8*(2*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^7 + 14*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^6 + 2*(3*a^2 +
10*a*b + 7*b^2)*sinh(x)^7 - 2*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 + 2*(21*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^2
- 11*a^2 - 26*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^5 + 10*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^3 - (11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)
*cosh(x))*sinh(x)^4 - 2*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 + 2*(35*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^4 - 10*(
11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 - 11*a^2 - 26*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^3 + 2*(21*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cos
h(x)^5 - 10*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 - 3*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^2 - 8*(b^2*co
sh(x)^8 + 8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 - 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^6 + 6*
b^2*cosh(x)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 - 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2
)*sinh(x)^4 - 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 - 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*co
sh(x)^6 - 15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 - 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b
^2*cosh(x)^3 - b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(b/a)*arctan(1/2*sqrt(b/a)*(cosh(x) + sinh(x))) + 8*(b^2*cosh(x)^8 +
8*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + b^2*sinh(x)^8 - 4*b^2*cosh(x)^6 + 4*(7*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x
)^4 + 8*(7*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(35*b^2*cosh(x)^4 - 30*b^2*cosh(x)^2 + 3*b^2)*sinh(x)^
4 - 4*b^2*cosh(x)^2 + 8*(7*b^2*cosh(x)^5 - 10*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(7*b^2*cosh(x)^6 -
15*b^2*cosh(x)^4 + 9*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^2 + b^2 + 8*(b^2*cosh(x)^7 - 3*b^2*cosh(x)^5 + 3*b^2*cosh(x)
^3 - b^2*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(b/a)*arctan(1/2*(b*cosh(x)^3 + 3*b*cosh(x)*sinh(x)^2 + b*sinh(x)^3 + (4*a + b)
*cosh(x) + (3*b*cosh(x)^2 + 4*a + b)*sinh(x))*sqrt(b/a)/b) + 2*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x) - ((3*a^2 + 10
*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*sinh(x)^8
- 4*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 - 3*a^2 - 10*a*b - 15*b^2)
*sinh(x)^6 + 8*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 - 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(3*
a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 - 30*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*co
sh(x)^2 + 9*a^2 + 30*a*b + 45*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 - 10*(3*a^2 + 10*a*b +
15*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 +
4*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^6 - 15*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2
)*cosh(x)^2 - 3*a^2 - 10*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^2 + 3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2 + 8*((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh
(x)^7 - 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 + 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 - (3*a^2 + 10*a*b + 15*b
^2)*cosh(x))*sinh(x))*log(cosh(x) + sinh(x) + 1) + ((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(3*a^2 + 10*a*b +
15*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*sinh(x)^8 - 4*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7
*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 - 3*a^2 - 10*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cos
h(x)^3 - 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(3*a^2
+ 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 - 30*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 + 9*a^2 + 30*a*b + 45*b^2)*sinh(x)^4 +
8*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 - 10*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2
)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^6 - 15*(
3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 + 9*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^2 - 3*a^2 - 10*a*b - 15*b^2)*sinh(x)^
2 + 3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2 + 8*((3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^7 - 3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^5 +
3*(3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^3 - (3*a^2 + 10*a*b + 15*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*log(cosh(x) + sinh(x) - 1
) + 2*(7*(3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*cosh(x)^6 - 5*(11*a^2 + 26*a*b + 15*b^2)*cosh(x)^4 - 3*(11*a^2 + 26*a*b + 15
*b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 10*a*b + 7*b^2)*sinh(x))/((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + 3*a^2
*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2
+ b^3)*cosh(x)^6 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6
+ 8*(7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a
^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 3*a^3 + 9*a^2*b +
9*a*b^2 + 3*b^3 - 30*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^
3)*cosh(x)^5 - 10*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(
x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a
*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 - a^3 - 3*a^2*b - 3*a*b^2 - b^3 + 9*(a^3
+ 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a^3 + 3*a^
2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)
*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(x)**5/(a+b*cosh(x)**2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: TypeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(x)^5/(a+b*cosh(x)^2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError